On a Generalization of the Gallai-Roy-Vitaver Theorem and Mathematical Programming Models for the Bandwidth Coloring Problem

We consider the bandwidth coloring problem, a generalization of the well-known graph coloring problem. For the latter problem, a classical theorem, discovered independently by Gallai, Roy and Vitaver, states that the chromatic number of a graph is bounded from above by the number of vertices in the longest elementary path in any directed graph derived by orienting all edges in the graph. We generalize this result to the bandwidth coloring problem. Two proofs are given, a simple one and a more complex that is based on a series of equivalent mathematical programming models. These formulations can motivate the development of various solution algorithms for the bandwidth coloring problem. Résumé Nous considérons le problème de la coloration par bande, une généralisation de la coloration usuelle des sommets d’un graphe. Pour ce dernier, un théorème classique, énoncé indépendamment par Gallai, Roy et Vitaver, démontre que le nombre chromatique d’un graphe est borné supérieurement par le nombre de sommets sur le plus long chemin élémentaire dans un graphe orienté obtenu en choisissant une orientation pour chaque arête du graphe. Nous généralisons ce résultat au problème de la coloration par bande. Nous donnons deux preuves de ce résultat, une simple et une plus complexe qui est basée sur l’équivalence entre divers modèles de programmation mathématique pour la coloration par bande. Ces divers modèles peuvent motiver le développement de nouveaux algorithmes pour la résolution du problème de la coloration par bande. Les Cahiers du GERAD G–2007–22 1